Can dostumuz, sayılar

[hurşit saral]

Merhaba arkadaşlar.

Site’mizde matematikle ilgili konubaşlığı saltlıkla vardır, düşüncesiyle, site içi arama motoruna girdim; karşıma “Bilim – Matematik” çıktı. Tüm iletileri sonuna değin okudum.

Ama benim yazımla örnekseyince biraz garip kalacağını duyumsadım. O başlıkta arkadaşlarım matematiğin somut yönüyle, matematik-mantık uyumundan oluşan hoşluklar sunuyor.

Benimse amacım bu örnekleri varsıllaştırma değil. Benimkisi, daha çok matematiğin felsefe yanı, budunbilimsel yanı. Rakamlarla değil sözcüklerle “yarenlik” etmek.

Bundan ötürü de yazı metnimi ayrı bir konubaşlığında sunmayı doğru buldum.

[ Denetçi arkadaşlarım, “Hayır! Bu yazı, Bilim-Matematik’te sunulacak” derlerse; onlardan ricam, yazı metnimi taşımasınlar, silsinler. Dostlarıma, Özel Sayfa’mda sunarım.  Bir sakıncası olmaz sanırım ]



CAN DOSTUMUZ SAYILAR- 1
Matematikten duyulan haz, bir şeyi ilk kez bulgulama deneyimine benzer. Çocuksu bir hayranlık ve şaşkınlık sarar insanı. Bu deneyimi bir kez yaşayan bu duyguyu unutamaz. Bu duygu matematiğin içinde en çok sayılarda duyumsanır.

Çünkü sayılar büyülü. Birbirleriyle uyum içinde dans ederler. İki, “İki!yi dansa kaldırdığında, Dört döner İki’nin başı. Sıfır’a herkes âşık, ama onu dansa kaldıramazlar, sıfır’a çarpılmaları yokolmaları demek. Bu işin gizi yapılan işlemlerden haz almasını bilmek.

İlk insanların sayıları bulması kuşkusuz kolay olmaz. Bulunan ilk nitelik kavramları “az” ve “çok” olmalı. Sonrasında İki’yi bulsalar gerek. Bir sayısı İki bulunduktan sonra bulunabilir ancak. İki, bulunmamışsa Bir’in gerekliliği kavranamaz.

Yazının bulunmadığı eski çağlara dönüp insel tarihte sayıların nasıl bulunduğu, sayı saymanın hangi evrelerden geçtiği bilinemez. O günlerden günümüze “ipucu” kalmasına olanak yok. Ama yakın geçmişte gözlenebilen ilkel urukların sayı kavramları incelenebilir. Yani tarih yerine budunbetim adı verilen bilim dalına kayılabilir. Çocuklarını sayabilen, ancak başka nesneleri sayamayan ilkel uruklara rastlanılır. Avustralyalı bir uruğun yerlileri ancak üçe dek sayabilirken, dokuz çocuğu sayabilirler. Şu yöntemi kullanırlar: Her aile ilk çocuğuna hep aynı adı verir. İkinci, üçüncü çocuklarına da... Böylece, aile bireyleri akşam toplandığında, ana baba çocuklarını saymadan hepsinin orda olup olmadığını anlar.

Bugün, çoğu çocuk sayı kavramının bilincine varmadan saymaya başlar. Küçük çocuklar “on”a dek saymayı bilir ama beş elmayı saymayı beceremeye bilirler. Kendi dillerinde ancak dörde dek sayabilen Paraguay’da yaşayan bir uruğa, sömürgeciler İspanyolca saymasını öğretir. Ama nesneleri sayarken o denli yanılgıya düşerler ki, saymanın ne demek olduğunu bildikleri söylenemez. Daha da ilginci, bu aynı uruk üyeleri Dört’e değin sayamazken, sürülerinde bir hayvan kaybolduğunda yaygara koparırlar.

Benzer örnekler çok. Örneğin, her tür nesneyi en az On’a dek sayabilen, ancak bu sayma işlemini saydığı nesnelere dokunmadan yapamayan uruklar da var. Ya sayarken bir yandan da bedeninin çeşitli yerlerine dokunmak zorunluluğunu duyan uruklara ne denir? On’a değin saymak için, genellikle sol elin başparmağından başlayarak sağ elin küçükparmağına birer birer dokunurlar. On’dan büyük sayılar için ayak parmakları kullanılır. Bu uruklardan daha da ilkelleri ilk beş sayıdan sonra bileklerine, dirseklerine dokunur. “çok sayısı” için saçlarını gösteren uruklar bilinir.

Bu örneklerden şu çıkar: Sayıları nesnelerden soyutlamak pek kolay olmaz. “Bir elma”, “iki elma”dan; “bir”, “iki”ye geçiş küçümsenemeyecek bir soyutlama gücü gerektirir.

Her kavrama bir tanım bulmaya çalışan filozoflar, eski Yunan’dan günümüze değin düşünmelerine karşın (!) henüz ne yazık, sayının tam bir tanımını veremezler. Filozofları uğraştıran tanım sorunu neyse ki, matematikçiler için önemli bir güçlük değil. Tanınan bir matematikçinin bu konuda söyledikleri ilginç: “Verilen tanımların hiçbiri doyurucu olmadığına göre, biz matematikçiler, ‘sayı nedir’? Sorusuna yalınç ve doğrudan bir yanıt vermeksizin de işimizi görürüz. Belki de sayıyı kabaca para gibi değiş-tokuş aracı sayabiliriz”.

Pekçok kişi için önemli olan, gerekseme duyduğu mal ve hizmet; para yalnızca bunları temsil eden bir simge: ama anlamsız bir simge değil! Paranın kullanılmadığı, mal ve eşyanın takas edildiği ”trampa” yönteminin karmaşık toplum düzeninde sıkıntıları bir yana, kullanış olanağı bile yok. Matematiği, “Benim parmaklarım senin kulaklarından fazla” türünden önermelere indirgeyen bir dizgeyi tasarımlamak bile yersiz. Sayılar birer simge. Son derece ilginç ve vazgeçilmez birer simge!

Acaba bugün kullanılan 1.2.3.4.5.6.7.8.9 rakamları nereden gelir. Arapça ve Farsça yazılan “hesap kitapları” bu rakamların bulgusunu ayrıksız olarak Hintlilere gönderme yapar.

Tarihten önceki zamanlarda DÖ 2000 ile 1400 arasında, Ariler, Hindistan’a girerek oranın halkını egemenlikleri altına alır ve kast dizgesini “ithal” ederler. Kastlar arası ayrılığın o zamanlar, sonraki dönemlerde olduğu kadar keskin olup olmadığı bilinmez. Fakat fatihlerin, en yüksek kastlar olan “muharipler” ve Brahmanlar, yani soylular ve inanadamları sınıflarını oluşturdukları kesin. Bu sınıfların bilimle pek ilgileri yok. Onlar kalemden çok, kılıcı yeğlerler. Fakat Budacılık çağında / DÖ.’ki son altı yüzyılda bunların sayılarla, özellikle çok büyük sayılarla ilgilendikleri görülür. Örneğin; Lalitavistara adlı kitapta aşağıdaki sahne geçer

Prens Gotama / Buddha, prens Dandapani’den kızını Gopa’yı ister. Kızı alabilmek için diğer beş istekli ile yazı, okçuluk, koşu, yüzme ve aritmetik alanlarında yarışmaya bağlı tutulur. Ve son büyük matematikçi Arjuna, kendisine aşağıdaki soruları sorar:
-Ey delikanlı, koti’nin ötesindeki sayıların yüzer yüzer nasıl devam ettiğini biliyor musun?
-Biliyorum
-Öyleyse koti’nin ötesinde sayılar yüzer yüzer nasıl devam ederler?
-Yüz koti’ye bir ayuta, yüz ayuta’ya bir niyuta, yüz niyuta’ya bir kankara, yüz kankara’ya bir vivara... Denir.
Buddha böylece 23 “kademe” sayar. Bir hesap kitabına göre koti, yüz kere yüz bin / saha saha sahassa. Ancak Buddha henüz sözlerini bitirmez: devamla;
-Bu ancak ilk seri. Bundan sonra daha sekiz ayrı seri gelir. Der.
Bu sayılar gerçekte hiçbir zaman sayma ve hesap yapmada kullanılmadığı açık. Ancak böylesi bir düşüncenin o günlerde ortaya çıkması dikkat çekici.

------------------> Sürecek sevgili dostlar

[hurşit saral]

CAN DOSTUMUZ SAYILAR - 2
Sıfır nereden geliyor?

Kendisine bir ad takmak ve kendisi için bir im bulgulamak biçimiyle, “hiç”ten bir şey ortaya çıkarmak, ökece bir buluş. Bu Halsted’in deyimiyle “Nirvana’yı dinamo haline sokmak” gibi bir şey. Babilonyalıların altmış tabanlı dizgesi sıfırın eksikliğinden ötürü kusursuz değil. Her ne denli, sonraki zamanlarda bir sayının ortasında eksik olan bir rakamı göstermek üzere bir im kullanılmış ise de sayının sonundaki bir eksikliği göstermek için hiçbir im var değil. İlk kez Eski Yunanlı gökbilimciler, sıfır için bir “0” imi ulamak biçimiyle bu dizgeyi tamamlarlar.

El Harezmî sıfır konusunda şöyle yazar:
“Çıkartma esnasında geriye hiçbir şey kalmazsa, yerin boş kalmaması için oraya küçük bir daire koy. O yere küçük dairenin konması şarttır. Çünkü aksi takdirde sonuçtaki basamakların sayısı gereğinden eksik olur ki, o zaman mesela ikinci basamak birinci sayılır”.

Sayının görgül kökenine ilişkin söylenilenleri değişik sayı kümelerinin oluşumuna da genellenebilir. 19. yüzyılın son dördününde tanınan matematikçi Kronecker, belleklerden silinmeyen şu sözleri söyler:

“Tanrı tam sayıları yarattı, gerisi insanoğlunun eseridir”.

Bununla ne demek ister Kronecker? Tüm diğer sayı kümelerinin bildiğimiz doğal sayılara indirgenebileceğini / ya da doğal sayılardan türetilebileceğinden mi; yoksa, tamsayılar dışında kalan sayıların yapay ya da isteğe bağlı olarak oluşturulduğunu mu?

Aslında onun bu tümceyle ne anlatmak istediği yeterince açık değil. Kronecker’in tam sayılarla diğer sayıları neden böylesine çarpıcı bir dille ayırma yoluna gittiği üzerine çeşitli yorumlar yapılabilir elbet. Ama önemli olan birtakım uygulamalı kuramsal gereksemelerin baskısı doğrultusunda sayı dizgesinin giderek nasıl dallanıp açıldıklarını gösterir.

Tamsayıların bir bölümünü oluşturan doğal / ya da “pozitif” tam sayılar, sayma sürecinin bir ürünü.

Peki, tamsayıların diğer bölümünü oluşturan “negatif” tamsayılar için ne denecek? Bunların sayma gereksemesinden doğduğunu söylemek güç. Ancak iş ve tecim yaşamında alacak ve borç hesaplarının insanoğlunu “negatif” sayı kavramına götürdüğü söylenir.

Aynı biçimde, kesirli sayılarında yaşantıdan kaynaklandığı ileri sürülebilir: Uzunluk, ağırlık, alan vb büyüklüklerin ölçümü çoğu kez tamsayılarla yeterli doğrulukta belirlenemediğinden ötürü, sayıların alt bölümlerine başvurmayı gerektirir. Böylece tamsayılarla kesirli sayıları kapsayan daha geniş bir sayı kümesi, “rasyonel” sayı kümesi oluşur. Ne var ki “rasyonel” sayılar, ortak ölçülü büyüklükleri belirlemeye yetmekte, ancak ( karenin kenarı ile köşegeninin karşılaştırılmasında örneğini gördüğümüz) ortak ölçüsüz büyüklükleri belirleme söz konusu olduğunda ise yetersiz kalmakta.

Böylece ayrı bir küme olan ‘irrasyonel’ sayılar kümesiyle karşılaşırız. İrrasyonel sayıların katılmasıyla daha kapsamlı bir sayı kümesi / rasyonel ve irrasyonel sayıları içine alan “gerçel / reel sayılar” kümesine ulaşılmış olur.

Kimi matematiksel sorunlar, matematikçileri, başlangıçta bir türlü benimseyemedikleri, dahası düpedüz olanaksız saydıkları, yeni bir sayı kümesini; “negatif” sayıların kareköküyle gösterilen ‘sanal sayılar’ kümesini oluşturmaya iter.

Sayı dizgesindeki açılımın nerede duracağı belli değil. Nitekim gerçel bir sayı ile salt sanal bir sayının cebirsel toplamı / ki, a+b biçimini almakta gerçel sayılar kümesinden daha kapsamlı ‘karmaşık sayılar’ kümesinin oluşumuna yol açar.

Sonuç olarak denebilir ki, çevre ile etkileşimden ya da dizgenin zamanla su yüzüne vuran kendi iç yetersizliğinden kaynaklanan her açılma, bir pekiştirme döneminden sonra yeni bir açılmanın koşullarını taşır. Her alanda olduğu gibi, matematikte de ilerleme; ‘açılma’ ve ‘pekiştirme’ diye adlandırılan iki evreli bir süreç görünümünde. Matematiğin ileri düzeylerinde yeni açılmaların daha çok dizgenin iç geriliminden kaynaklandığı söylenebilir. Bu, aynı zamanda, matematiğin neden giderek daha soyut bir kimlik kazandığının açıklanmasını da verir.

Felsefeden matematiğe, matematikten tüm bilimlere...
Yolnuz açık, rüzgarınız bol olsun sevgili dostlar.

HURŞİT SARAL

Kaynakça

I: Bilimin Uyanışı, Eski Mısır, Babilenya ve Eski Yunan Matematiği; B.L. Van Der Waerden; Çeviren: Orhan Ş. İçen-Yılmaz Öner
II: Matematik ve Korku; Ali Nesin; Düşün Yayınları
III: Matematiksel Düşünme; Cemal Yıldırım; Remzi Kitabevi